Den Satz des Pythagoras kennen viele noch aus dem Mathematikunterricht. Zwei Teenagern aus den USA ist jetzt eine besondere Leistung geglückt.
Zwei Schülerinnen aus New Orleans sollen geschafft haben, woran selbst fortgeschrittene Mathematiker scheitern: Sie erbrachten den Beweis für den Satz des Pythagoras allein mit Mitteln der Trigonometrie. Ihre Ergebnisse wurden in der Zeitschrift „American Mathematical Monthly“ veröffentlicht.
Es klingt, wie der einfachste Satz der Mathematik: a² + b² = c². Aber der Satz des Pythagoras ist gleichzeitig einer der kniffligsten. Die Krux: Die Trigonometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie, und deren grundlegende Formeln beruhen auf der Annahme, dass der Satz des Pythagoras wahr ist. Es droht also ein Zirkelschluss – eine Beweisführung, in der das zu Beweisende schon als Voraussetzung steckt. Es gibt Hunderte Beweise aus anderen Disziplinen der Mathematik wie der Algebra. Aber nur zwei Mathematiker bewiesen den Jahrtausende alten Lehrsatz bisher ohne Zirkelschluss.
Mathematik auch in den Ferien
Auf die Idee kamen die beiden Teenagerinnen Calcea Johnson und Ne’Kiya Jackson im Jahr 2022 bei einem Mathematik-Wettbewerb an ihrer Highschool in den USA. Eine Bonus-Aufgabe verlangte, einen neuen Beweis für den Satz des Pythagoras zu erstellen – für 500 Dollar Preisgeld. „Die Aufgabe erwies sich als viel schwieriger, als wir uns zunächst vorgestellt hatten“, schreiben die beiden Schülerinnen heute.
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Viele lange Nächte verbrachten sie mit dem Versuch, einen Beweis zu erstellen. Sogar in den Ferien. „Es gab viele Momente, in denen wir beide das Projekt aufgeben wollten, aber wir beschlossen durchzuhalten und zu beenden, was wir begonnen hatten.“ Dafür haben sie – grob gesagt – aus einem rechtwinkligen Dreieck ABC verschiedene neue rechtwinklige Dreiecke mit bestimmten Winkel-Maßen gebildet. Neben Auszeichnungen gab es dafür sogar ein Lob von Ex-First-Lady Michelle Obama.
Worum geht es beim Satz des Pythagoras?
Der Satz des Pythagoras beschreibt die Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks: Die Summe der Quadrate der am rechten Winkel anliegenden Katheten (a und b) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (c), die dem 90-Grad-Winkel gegenüberliegt. Man kann also die Länge einer beliebigen Seite eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, wenn man die Länge der beiden anderen Seiten kennt.
An den Beweisen versuchten sich schon viele. Sie sind aus dem antiken Griechenland übermittelt, aus dem alten China, von Künstlern, Philosophen und sogar einem US-Präsidenten. Im Grunde reiche nur ein einziger Beweis aus, um die Richtigkeit eines Satzes ein für alle Mal darzulegen. Mathematikerinnen aber haben Gefallen daran, Sätze möglichst elegant, knapp und genial zu beweisen. Die beiden Schülerinnen sind mittlerweile auf dem Weg, selbst Naturwissenschaftlerinnen zu werden. Johnson studiert inzwischen Umwelttechnik an der Louisiana State University, Jackson studiert Pharmazie an der Xavier University of Louisiana.